Главная страница 1



Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Выпуклые многогранники» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра





Правительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Государственный университет - Высшая школа экономики»

Факультет Математики


Программа дисциплины Выпуклые многогранники
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра


Автор программы:

Тиморин В.А., к.ф.-м.н., vtimorin@hse.ru

Одобрена на заседании кафедры геометрии и топологии «___»____________ 2010 г.

Зав. кафедрой В.А. Васильев


Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2010 г.

Председатель С.К.Ландо


Утверждена УС факультета математики «___»_____________2010 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________

Москва, 2010

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.



Программа разработана в соответствии с:

  • ГОС ВПО;

  • Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

  • Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2010 г.


2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины «Выпуклые многогранники» являются

  • ознакомление студентов с основными комбинаторными структурами, связанными с теорией выпуклых многогранников

  • освоение методов выпуклой геометрии и линейного программирования

  • представление о диапазоне применений методов и понятий теории выпуклых многогранников как в самой математике, так и за ее пределами.


3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Знать основные определения и формулировки основных теорем теории выпуклых многогранников.

  • Уметь пользоваться симплекс-методом, вычислять комбинаторные инварианты выпуклых многогранников, применять теорию выпуклых многогранников в задачах, приходящих из других областей математики, таких как геометрия, топология, математическая физика, теория особенностей и т.д.

  • Иметь навыки работы с комбинаторными и алгебраическими структурами (матроиды, симплициальные комплексы, диаграммы Гейла, алгебры выпуклых цепей и т.п.), связанными с теорией выпуклых многогранников


4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.

5Тематический план учебной дисциплины




Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия




Линейная оптимизация (линейное программирование)




5

5




17




Комбинаторика выпуклых многогранников




5

5




17




Геометрические неравенства




5

5




17




Применения выпуклых многогранников в математике




5

5




17




Итого:

108

20

20




68



6Формы контроля знаний студентов


Тип контроля

Форма контроля

1 год

Параметры **

1

2

3

4

Текущий

(неделя)


Контрольная работа

*




9




письменная работа 60 минут

Итоговый

Экзамен











v

письменный экзамен 90 мин.

3, 4 модули




6.1Критерии оценки знаний, навыков


Промежуточная письменная работа: знакомство с методами линейного программирования (в особенности симплекс-методом), знание определений основных комбинаторных инвариантов выпуклых многогранников, навыки работы с симплициальными комплексами и диаграммами Гейла.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.



7Содержание дисциплины


    Раздел 1 Линейная оптимизация (линейное программирование).

Примеры задач линейного программирования (математическая экономика, логистика и т.д.) - 1 лекция, 1 семинар. Определение выпуклого многогранника, граней, реперов — 1 лекция, 1 семинар. Основной шаг симплекс-метода (перемещение от репера к соседнему реперу), простые многогранники — 1 лекция, 1 семинар. Инициализация (выбор первого репера) — 1 лекция, 1 семинар. Комбинаторные и геометрические следствия — 1 лекция, 1 семинар.

Литература: [ЕКК]




    Раздел 2. Комбинаторика выпуклых многогранников.

Определение f-вектора и h-вектора, соотношения Дена-Соммервилля — 1 лекция, 1 семинар. Циклические многогранники, теорема о максимальном числе граней — 1 лекция, 1 семинар. Комбинаторика симплициальных комплексов — 1 лекция, 1 семинар. Диаграммы Гейла — 1 лекция, 1 семинар. Примеры комбинаторных многогранников (пермотоэдры, ассоциэдры и т.д.), вычисление их комбинаторных инвариантов - 1 лекция, 1 семинар.

Литература: [ЕКК], [Б], [G], [Z]




    Раздел 3. Геометрические неравенства.

    Изопериметрическое неравенство и его аналоги в геометрии Минковского — 1 лекция, 1 семинар. Неравенство Брунна-Минковского — 1 лекция, 1 семинар. Неравенства на смешанные дискриминанты — 1 лекция, 1 семинар. Многочлен объема, неравенство Александрова-Фенхеля — 2 лекции, 2 семинара.

    Литература: [А], [Z]





    Раздел 2. Применения выпуклых многогранников в математике.

    Многогранник Ньютона системы уравнений, теорема Кушниренко-Бернштейна — 2 лекции, 2 семинара. Многогранник Ньютона особенности — 1 лекция, 1 семинар. Отображения момента и многогранник моментов — 1 лекция, 1 семинар. Весовые многогранники в теории представлений — 1 лекция, 1 семинар.

    Литература: [E]


8Образовательные технологии


В курсе возможны мастер-классы специалистов в различных областях математики, использующих теорию выпуклых многогранников. Возможны также презентации и математические эксперименты с использованием систем компьютерной алгебры и средств визуализации.

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля


Примерные вопросы/ задания для домашних заданий и промежуточной контрольной работы:

  1. Опишите все многогранники, которые одновременно простые и симплициальные.

  2. Докажите, что многогранник, двойственный к произведению двух треугольников, является 2-смежностным, то есть любые две вершины соединены ребром.

  3. Найдите f-вектор и h-вектор произведения двух симплексов.

  4. Задайте n-мерный пермутоэдр системой неравенств.

  5. Опишите все комбинаторные типы четырехмерных многогранников с 6 вершинами.

  6. Найдите многочлены объема для симплекса и куба.

  7. Среди всех четырехугольников с заданным периметром, опишите четырехугольники максимальной площади.

  8. Пользуясь многогранником Ньютона, найдите число решений данной системы полиномиальных уравнений.



10Порядок формирования оценок по дисциплине


Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских и практических занятиях: оценивается правильность решения задач на семинаре. Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских и практических занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: контрольные вопросы, короткие тесты. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.


Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Отекущий = Одз ;

Результирующая оценка за промежуточный контроль в форме зачета выставляется по следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете:



Опромежуточный = 0,4·Озачет + 0,4·Отекущий + 0,1·Осам. работа + 0,1·Оаудиторная
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене:

Оитоговый = 0,4·Оэкзамен + 0,4·Отекущий + 0,1·Осам. работа + 0,1·Оаудиторная
На зачете студент может получить дополнительный вопрос, ответ на который оценивается в 1 балл. Таким образом, результирующая оценка за промежуточный контроль в форме зачета, получаемая на пересдаче, выставляется по формуле

Опромежуточный = 0,4·Озачет + 0,4·Отекущий + 0,1·Осам. работа + 0,1·Оаудиторная + Одоп.вопрос
На экзамене студент может получить дополнительный вопрос, ответ на который оценивается в 1 балл. Таким образом, результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена, получаемая на пересдаче, выставляется по формуле

Оитоговый = 0,4·Оэкзамен + 0,4·Отекущий + 0,1·Осам. работа + 0,1·Оаудиторная + Одоп.вопрос
В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине, которая формируется по следующей формуле:

Одисциплина = 0,4·Опромежуточный + 0,6·Оитоговый

11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1Базовый учебник


[ЕКК] Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К., «Многогранники, графы, оптимизация».

Москва: «Наука», 1981


11.2Основная литература


[А] Александров А.Д., «Выпуклые многогранники», Москва: ГИТТЛ, 1950

[Б] Брёнстед А., «Введение в теорию выпуклых многогранников», Москва: «Мир», 1988.


11.3Дополнительная литература


[G] B. Gruenbaum, “Convex polytopes”, Springer; 2nd edition (2003)

[Z] G. Ziegler, “Lectures on polytopes”, Volume 152 of Graduate texts in mathematics, Springer, 1995



[E] G. Ewald, “Combinatorial convexity and algebraic geometry», Volume 168 of Graduate texts in mathematics, Springer, 1996


11.4Справочники, словари, энциклопедии


http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_polytope

http://en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory%27s_theorem_%28convex_hull%29

http://en.wikipedia.org/wiki/Brunn%E2%80%93Minkowski_theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Helly%27s_theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Simplex_algorithm


Смотрите также:
Программа дисциплины «Выпуклые многогранники»
91.82kb.
1 стр.
Многогранники, правильные многогранники
77.7kb.
1 стр.
Многогранники и кристаллы
144.63kb.
1 стр.
Макеты сложных многогранников. Правильные многогранники или «тела Платона»
34.74kb.
1 стр.
Программа дисциплины археология Цикл дс
244.04kb.
1 стр.
Программа дисциплины нумизматика. Цикл дс
123.86kb.
1 стр.
Программа дисциплины «Метрология, стандартизация и сертификация»
260.89kb.
1 стр.
Программа дисциплины для студентов дисциплины «Материаловедение. Технология конструкционных материалов»
447.71kb.
7 стр.
Программа дисциплины «Символы в искусстве»
184.29kb.
1 стр.
Программа учебной дисциплины " Этнография Албании " Программа дисциплины
92.5kb.
1 стр.
Рабочая программа учебной дисциплины «моделирование при стратегическом планировании»
235.77kb.
1 стр.
Программа дисциплины «Приборы ориентации и навигации»
160.8kb.
1 стр.