Главная страница 1



Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики



Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел 2»

для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы:

Зыкин А. И., к.ф.м.н., PhD, alzykin@gmail.com

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.

Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________

Москва, 2011

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.



Программа разработана в соответствии с:

  • ГОС ВПО;

  • Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

  • Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.


2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 2» являются создание у учащихся целостного представления об идеях и методах теории чисел, обучение использованию для решения теоретико-числовых задач алгебраических, геометрических и аналитических методов.


3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Знать об основных понятиях теории чисел.

  • Уметь решать  различные конкретные теоретико-числовые задачи, с использованием теории Галуа, локальных полей, теории Дедекиндовых колец, теории эллиптических кривых и теории модулярных форм, дзета- и L-функций.

  • Иметь навыки (приобрести опыт) применения алгебраической и аналитической техники в различных разделах теории чисел.


4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.

5Тематический план учебной дисциплины


1 курс магистратуры



Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Модулярные формы

29

14







15

2

Теория полей классов

16

6







10

3

Эллиптические кривые с комплексным умножением

18

8







10

4

Дзета и L-функции

27

12







15







90

40







50

2 курс магистратуры





Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Модулярные формы

42

14

 

 

28

2

Теория полей классов

34

6

 

 

28

3

Эллиптические кривые с комплексным умножением

40

8

 

 

32

4

Дзета и L-функции

46

12

 

 

34

 

 Итого:

162

40

 

 

122


6Формы контроля знаний студентов


Тип контроля

Форма контроля

1 год

2 год

Параметры **

1

2

3

4

1

2

3

4

Текущий

(неделя)


Контрольная работа

*







8













письменная работа, 80 мин.

Итоговый

Зачет










v













письменная работа, 240 мин



6.1Критерии оценки знаний, навыков


На зачете студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания, полученные в курсе, к конкретным задачам из теории модулярных форм, теории полей классов, теории эллиптических кривых с комплексным умножением, теории дзета и L-функций, а также к связанным с этими разделами задачам из теории чисел.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.


7Содержание дисциплины


  1. Раздел 1. Модулярные формы





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Дискретные подгруппы SL_2(R), типы элементов дискретных подгрупп, структура римановой поверхности на факторе. Конгруэнц-подгруппы

    7

    3




    4



    Модулярные формы целого веса. Гиперболический объем фактора и размерность пространства модулярных форм.

    8

    3




    5



    L-функции модулярных форм. Функциональное уравнение для L-функций модулярных форм. Обратная теорема Вейля.

    6

    3




    3



    Операторы Гекке. Теория Аткина-Ленера новых форм.

    8

    5




    3




    Итого:

    129

    114

    3

    215

    Литература по разделу:



Ленг С. Введение в теорию модулярных форм. - М.: Мир, 1979.

Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972.

Newman D.J. «Analytic Number Theory», Springer-Verlag, GTM 177, 1998.

Silverman J. «Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 151, 1995.


  1. Раздел 2. Теория полей классов





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Адели и идели. Группа классов иделей и её свойства.

    4

    1




    3



    Формулировка основных результатов теории полей классов: закон взаимности Артина, гильбертово поле классов, классификация абелевых расширений. Локальная и глобальная теория.

    5

    3




    2



    Приложения теории полей классов: простые числа вида x^2+ny^2, классификация простых конечномерных алгебр.

    7

    2




    5




    Итого:

    116

    16

    3

    210

    Литература по разделу:



Beйль А. Основы теории чисел. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

Касселс Дж., Фрёлих А. (ред.). Алгебраическая теория чисел. - М.: Мир, 1969.

Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.

Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

Cox D., Primes of the form x^2 + ny^2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.


  1. Раздел 3. Эллиптические кривые с комплексным умножением



    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Эллиптические кривые с комплексным умножением над C. Действие группы Галуа и решетки.

    7

    3




    4



    Абелевы расширения мнимых квадратичных полей и точки деления на эллиптических кривых. Гильбертово поле классов и j-инвариант. Целость j-инварианта.

    11

    5




    6




    Итого:

    118

    18

    3

    210

    Литература по разделу:



Касселс Дж., Фрёлих А. (ред.). Алгебраическая теория чисел. - М.: Мир, 1969.

Cox D., Primes of the form x^2 + ny^2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.

Silverman J. «Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 151, 1995.


  1. Раздел 4. Дзета и L-функции





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Закон распределения простых чисел и нули дзета-функций. Гипотеза Римана – обзор.

    6

    3




    3



    Дзета-функция Дедекинда. Формула для вычета. Приложение к квадратичным расширениям. Функциональное уравнение и тета-функции.

    10

    4




    6



    L-функции Дирихле и дзета-функции циклотомических полей. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

    6

    2




    4



    Дзета функции и теория полей классов. Теорема плотности Чеботарёва. Программа Ленглендса как неабелева теория полей классов.

    5

    3




    2




    Итого:

    127

    112

    3

    215

    Литература по разделу:



Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

Beйль А. Основы теории чисел. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

Карацуба А.Л. Основы аналитической теории чисел. - М.: Наука, 1983.

Касселс Дж., Фрёлих А. (ред.). Алгебраическая теория чисел. - М.: Мир, 1969.

Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.

Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972.

Newman D.J. «Analytic Number Theory», Springer-Verlag, GTM 177, 1998.

8Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1Тематика заданий текущего контроля


Примерные вопросы для контрольной работы

  1. Посчитайте размерность пространства модулярных форм M_4(Г_0(8))

  2. Какие простые числа имеют вид x^2+64y^2?

  3. Вычислите вычет в $s=1$ дзета-функции поля Q(\sqrt{163}).

  4. Найдите Гильбертово поле классов поля Q(\sqrt{5}).

8.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


1. Опишите классификацию элементов в дискретных подгруппах SL_2(R).

2. Как ввести структуру компактной Римановой поверхности на факторе по дискретной подгруппе? Посчитайте её объем в гиперболической метрике.

3. Дайте определение модулярных форм целого веса. Какова размерность пространства модулярных форм данного веса?

4. Дайте определение рядов Эйзенштейна и сформулируйте их основные свойства. Что такое тета-функции?

5. Дайте определение L-функции модулярной формы. Как её функциональное уравнение связано со свойством модулярности?

6. Что такое операторы Гекке? Определите пространство новых форм и докажите диагонализируемость операторов Гекке на нём.

7. Как связаны L-функции эллиптических кривых и модулярных форм?

8. Как определяются кольца иделей и аделей и топология на них? Почему группа классов иделей компактна?

9. Сформулируйте закон взаимности Артина. Как описать абелевы расширения данного поля алгебраических чисел?

10. Опишите простые числа вида x^2+ny^2 для данного n.

11. Что такое эллиптическая кривая с комплексным умножением? Как связаны эндоморфизмы таких кривых и действие группы Галуа?

12. Как явно описать абелевы расширения мнимых квадратичных полей?

13. Докажите, что j-инвариант эллиптической кривой с комплексным умножением - целое число.

14. Сформулируйте закон распределения простых чисел. Какова его связь с нулями дзета-функции Римана?

15. Что такое дзета-функция Дедекинда и как она связана с арифметикой числовых полей?

16. Почему дзета-функция Дедекинда продолжается на всю комплексную плоскость?

17. Вычислите вычет дзета-функции Дедекинда в s=1.

18. Докажите теорему Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.


9Порядок формирования оценок по дисциплине


Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10 балльной

шкале.
Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.



Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.


Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.


10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовый учебник


Beйль А. Основы теории чисел. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

10.2Основная литература


Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

Beйль А. Основы теории чисел. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

Карацуба А.Л. Основы аналитической теории чисел. - М.: Наука, 1983.

Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.

Ленг С. Введение в теорию модулярных форм. - М.: Мир, 1979.

Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972.

Silverman J. «Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 151, 1995.

10.3Дополнительная литература


Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

Касселс Дж., Фрёлих А. (ред.). Алгебраическая теория чисел. - М.: Мир, 1969.

Cox D., Primes of the form x^2 + ny^2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.

Newman D.J. «Analytic Number Theory», Springer-Verlag, GTM 177, 1998.





Смотрите также:
Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел 2» для направления 010100. 62 «Математика»
145.45kb.
1 стр.
Программа дисциплины Спецкурс «Избранные главы дискретной математики» для направления 010100. 62 «Математика»
77.22kb.
1 стр.
Программа дисциплины Спецкурс «Многообразия флагов» для направления 010100. 62 «Математика»
93.71kb.
1 стр.
Программа дисциплины «Выпуклые многогранники»
91.82kb.
1 стр.
Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра
194.94kb.
1 стр.
Программа дисциплины Алгебраическая геометрия для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра
202.46kb.
1 стр.
Программа дисциплины Квантовая механика для направления 010100. 62 "Математика" подготовки бакалавра
255.72kb.
1 стр.
Программа дисциплины теория вероятностей, случайные процессы
45.36kb.
1 стр.
Программа дисциплины Микроэкономика (адаптационный) для направления 010400. 68 «Прикладная математика и информатика»
548.14kb.
2 стр.
Программа дисциплины «Финансовая математика»
220.93kb.
1 стр.
Программа дисциплины Микроэкономика 2 для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»
90.59kb.
1 стр.
Программа дисциплины Институциональная экономика для направления 080100. 62
284.52kb.
1 стр.