Главная страница 1



Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Алгебраическая геометрия для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра





Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики»

Факультет Математики


Программа дисциплины Алгебраическая геометрия
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

Автор программы: к.ф.-м.н., доц. Городенцев А.Л. (gorod@itep.ru)

Одобрена на заседании кафедры алгебры «___»____________ 2010 г.

Зав. Кафедрой А.Н.Рудаков


Рекомендована секцией УМС по математике«___»____________ 2010 г.

Председатель С.К.Ландо


Утверждена УС факультета математики «___»_____________2010 г.

Ученый секретарь Ю.М.Бурман ________________________

Москва, 2010

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.

Программа разработана в соответствии с:


  • ГОС ВПО;

  • Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.

  • Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, специализации Математика, утвержденным в 2010 г.



2Цели освоения дисциплины


Целями изучения данной дисциплины являются геометрическое введение в современную алгебраическую геометрию; освоение алгебраического языка схем и пучков и фундаментальной двойственности между многообразиями и регулярными функциями на них; знакомство с основными вычислительными инструментами алгебраической геометрии; введение в теорию алгебраических кривых.



3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Овладеть основами классической проективной геометрии и геометрии многообразий Грассмана, Веронезе, Сегре и флаговых многообразий; изучить язык схем и пучков на схемах, двойственность между многообразиями и кольцами функций на них; освоить ключевые понятия исчислительной геометрии: размерности, степени, индексы пересечений; познакомиться с началами теории алгебраических кривых.

  • Уметь вычислять некоторые простейшие геометрические инварианты многообразий – размерности, степени, когомологии пучков и индексы пересечений, применяя для этого геометрические свойства этих инвариантов и их поведение при регулярных отображениях.

  • Приобрести опыт перевода аналитических и алгебраических задач на язык проективной геометрии и обратно, а также опыт использования классические геометрические инструментов (проективные вложения, исчисление Шуберта, теоремы Римана-Роха и т.п.) для решения алгебраических, аналитических и комбинаторных задач.



  1. Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу общие профессиональные дисциплины и блоку основных дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра.

3Тематический план учебной дисциплины







Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия




  1. Прстранство проективных гиперповерхностей. Кратность пересечения гиперповерхности с прямой. Касательный конус, поляры, простые и особые точки. Результанты, теория исключения. Теория пересечений плоских кривых.

  2. Многообразия Сегре, Веронезе и Грассмана: проективные вложения и задание квадратичными уравнениями. Базисный пример: Gr(2,4) и геометрия прямых в пространстве. Введение в исчисление Шуберта.

  3. Двойственность между категорией аффинных алгебраических многообразий над замкнутым полем K и категорией конечно порождённых приведённых K-алгебр. Теоремы Гильберта о полиномиальных идеалах. Геометрические свойства морфизмов: замкнутые вложения, доминантные и конечные морфизмы.

  4. Абстракные алгебраические многообразия над замкнутым полем. Пучок регулярных функций.. Произведения и расслоенные произведения. Геометрические схемы; отделимость и собственность. Собственность проективных многообразий. Раздутие, конечность проекции и теоремы о существований конечных сюрьекций на аффинные и проективные пространства.

  5. Размерность алгебраического многообразия. Теоремы о размерностях пересечений, о размерностях слоёв и теоремы Шевалле о полунепрерывности и конструктивности. Рабочий пример: прямые на поверхностях.

.




3

3

3



3

4


3

3

3



4

4





9

9

9



9

9





  1. Алгебраические векторные расслоения и 1-мерные когомологии Чеха с коэффициентами в GL. Пучки сечений, когерентные и квазикогерентные пучки, прямые и обратные образы. Группа Пикара, вычисление :групп Пикара факториальных аффинных многообразий и грассманианов. Полная расщепимость расслоений на проективной прямой

  2. (Ко)касательное пространство Зариского, конормальное расслоение и нормальный конус подмногообразию. Гладкие многообразия, свойства гладких и этальных морфизмов, степень конечного морфизма. Раздутие пучка идеалов и деформация к нормальному конусу.

  3. Линейные системы и отображения в проективное пространство, задаваемые линейными системами. Подвижность и обильность. Дивизоры Вейля и (псевдо)дивизоры Картье. Введение в теорию пересечений.

  4. Введение в теорию когомологий когерентных пучков. Когомологии обратимых пучков на проективных пространствах. Свойство Коэна-Маколея и дуализирующий пучок, двойственность Серра.







4

4

4



4

4

4

4



5





13

13

14



14





Итого:

162

32

32




98


4Формы контроля знаний студентов


Тип контроля

Форма контроля

1 год

2 год

Параметры **

1

2

3

4

1

2

3

4

Текущий

(неделя)


Контрольная работа

7






















Письменная работа 90 минут

Коллоквиум




9



















Устный опрос

Промежу­точный

Зачет

v






















Письменный зачёт 240 мин.

Итоговый

Экзамен





v



















Письменный экзамен 240 мин.

1 контрольная работа, 1 коллоквиум и листки с задачами для самостоятельного решения, выдаваемые на каждом занятии.


4.1Критерии оценки знаний, навыков


На контрольной работе студент должен продемонстрировать умение самостоятельно решать задачи по темам 1-5 (см. таблицу в п.4 выше).

На коллоквиуме студент должен продемонстрировать владение теоретическим материалом по темам 1-10 (см. таблицу в п.4 выше), включая способность воспроизвести доказательства основных теорем курса, знание логических взаимосвязей между различными разделами курса и умение самостоятельно решать небольшие теоретические задачи (не требующие значительных вычислений, но контролирующие принципиальное понимание курса)

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

Задачи, выдаваемые на дом для самостоятельного решения, должны решаться дома, после чего записанные решения обсуждаются устно с преподавателями во время семинаров. Подчеркнём, что на итоговую отметку за курс оказывает влияние совокупная доля числа решённых задач от общего количества выданных задач, а не десятибалльные отметки за каждое домашнее задание в отдельности.


5Содержание дисциплины


Количества аудиторных часов и часов для самостоятельной работы по каждому разделу см. выше в таблице из п.4. Применяемая в курсе учебная технология в каждом разделе одинакова и вкратце описана ниже в п.7. Нумерация литературных ссылок на перечисляемые далее разделы курса соответствует нумерации, используемой в списке рекомендуемых учебников из п.п.10.2, 10.3 ниже.
Содержание курса таково:
Раздел 1 Проективные гиперповерхности.

Пространство проективных гиперповерхностей. Пучки и связки гиперповерхностей. Кратность пересечения гиперповерхности с прямой. Касательный конус, поляры, простые и особые точки. Результанты и теория исключения. Теория пересечений плоских кривых. Теорема Безу и соотношения Плюккера.


Домашнее задание: Листок 1. Исследование особых точек и точек пересечения плоских кривых. Рациональная параметризация кривых. Пучки кривых. Упражнения на теорему Безу и формулы Плюккера для плоских кривых.

Литература по разделу: [1], [4], [6].



Раздел 2 Многообразия специальных тензоров.

Многообразия Сегре, Веронезе и Грассмана, изотропные и симплектические грассманианы; их проективные вложения и задание квадратичными уравнениями. Базисный пример: Gr(2,4) и геометрия прямых в пространстве. Введение в исчисление Шуберта


Домашнее задание: Листок 2. Геометрия вложений Сегре, Веронезе и Плюккера. Клетки Шуберта и формулы Пьери.

Литература по разделу: [1], [4], [10]., [11]



Раздел 3 Аффинная алгебраическая геометрия.

Свойства целых расширений колец и теоремы Гильберта о полиномиальных идеалах. Спектры, максимальные спектры и топология Зариского. Двойственность между категорией аффинных алгебраических многообразий над замкнутым полем K и категорией конечно порождённых приведённых K-алгебр. Сравнение геометрических свойств морфизмов K-алгебр и их спектров: замкнутые вложения, доминантные и конечные морфизмы.


Домашнее задание: Листок 3. Упражнения на свойства целых расширений колец, теоремы о подъёме и спуске и прочая необходимая. коммутативная алгебра. Свойства топологии Зариского на спектре.

Литература по разделу: [1], [2], [5], [6], [7].



Раздел 4 Алгебраические многообразия.

Концепция многообразия. Пучок регулярных функций. Рациональные морфизмы. Произведения и расслоенные произведения, геометрические схемы. Отделимость и собственность, собственность проективных многообразий. Раздутие, конечность проекции и теоремы о существований конечных сюрьекций на аффинные и проективные пространства.


Домашнее задание: Листок 4. Простейшие геометрические и топологические свойства алгебраических многообразий. Собственные морфизмы. Теоремы о нормализации. Геометрические свойства и примеры конечных морфизмов.

Литература по разделу: [1], [2], [5], [6], [7].



Раздел 5 Размерность.

Эквивалентность различных определений размерности алгебраического многообразия. Теоремы о размерностях пересечений, о размерностях слоёв и теоремы Шевалле о полунепрерывности и конструктивности. Неприводимость многообразия, расслоенного над неприводимым многообразием с неприводимыми равноразмерными слоями. Использование многообразий инцидентности для вычисления размерностей, примеры: универсальные гиперплоские сечения и прямые на поверхностях.

.
Домашнее задание: Листок 5. Свойства и геометрическое вычисление размерностей. Исследование многообразий инцидентности. Применение размерностей для решения геометрических и алгебраических задач. 27 прямых на гладкой кубической поверхности.

Литература по разделу: [1], [2], [4], [5], [7].



Раздел 6 Векторные расслоения и пучки модулей.

Локально тривиальные векторные расслоения как 1-мерные когомологии Чеха с коэффициентами в GL. Пучки сечений, когерентные и квазикогерентные пучки, прямые и обратные образы. Группа Пикара, вычисление :групп Пикара факториальных аффинных многообразий и грассманианов. Полная расщепимость векторных расслоений над проективной прямой

.
Домашнее задание: Листок 6. Задачи об обратимых пучках, вычисление групп Пикара. Простейшие свойства векторных расслоений на проективных пространствах. Тавтологические расслоения над грассманианами. Касательные, кокасательные и (ко)нормальные расслоения.

Литература по разделу: [1], [2], [7], [11].



Раздел 7 Инфинитезимальные объекты.

(Ко)касательное пространство Зариского, конормальное расслоение и нормальный конус подмногообразию. Гладкие многообразия, свойства гладких и этальных морфизмов, степень конечного морфизма. Раздутие пучка идеалов и деформация к нормальному конусу.


Домашнее задание:

Листок 6. (См. выше)

Листок 7. Геометрические свойства гладких и этальных морфизмов. Использование степени конечного морфизма. Локальное строение гладких многообразий.

Литература по разделу: [2], [4], [5], [7].



Раздел 8 Линейные системы и дивизоры.

Линейные системы сечений расслоений и отображения в проективные пространства и грассманианы, задаваемые линейными системами. Подвижность и обильность. Дивизоры Вейля и (псевдо)дивизоры Картье. Введение в теорию пересечений.

.
Домашнее задание: Листок 8. Свойства дивизоров Вейля и Картье. Примеры и геометрические свойства проективных вложений.

Литература по разделу: [2], [4], [7], [11].



Раздел 9 Введение в теорию когомологий когерентных пучков.

Когомологии Чеха. Когомологии обратимых пучков на проективных пространствах. Свойство Коэна-Маколея и дуализирующий пучок. Двойственность Серра.


Домашнее задание:

Листок 8 ½. Обзор классической теории производных функторов (в стиле введения к гл.3 книги [7]). Содержание этого листка зависит от подготовленности студентов и взаимодействия с возможными сопутствующими (спец) курсами «Дополнительные главы алгебры», «Введение в гомологическую алгебру» и «Введение в теорию пучков»

Листок 9. Основы теории пучков: мягкость, вялость и т.п. Резольвенты. Вычисление когомологий пучков на проективных пространствах и грассманианах.

Литература по разделу: [2], [3], [7].




6Образовательные технологии


На лекции даются все необходимые определения, доказываются ключевые теоремы курса, обсуждаются логические и неформальные связи между ними, а также теоремами из других разделов математики и физики. Кроме того, приводятся примеры использования этих результатов для решения конкретных задач.
После этого студентам выдаётся листок с задачами для самостоятельного решения, содержащий как рутинные упражнения для усвоения стандартных вычислительных приёмов, так и теоремы для самостоятельного доказательства (или прочтения в учебнике), которые будут существенно использоваться в дальнейшем. Задачи должны решаться дома, после чего индивидуально сдаваться (устно или письменно) преподавателям во время семинарских занятий.
Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе. Студенты, испытывающие затруднения при решении некоторых задач иногда соединяются в группы для совместной работы над не получающейся задачей, возможно, под чьим-нибудь руководством (преподавателя или уже разобравшего задачу студента).Однако разобранные таким образом задачи всё равно должны сдаваться каждым студентом индивидуально.
Общее число решённых каждым студентом задач в течение каждого модуля учитывается, и оказывает заметное влияние на итоговую отметку за модуль (см. п.9 ниже). Крайний срок сдачи задач из листков, выдававшихся в каждом модуле – последнее семинарское занятие этого модуля.

7Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

7.1Тематика заданий текущего контроля


была перечислена выше в п.6.

7.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


Примерный перечень вопросов к коллоквиуму:

  1. Индекс пересечения и теорема Безу для плоских проективных кривых.

  2. Особенности плоских проективных кривых. Двойственная кривая. Соотношения Плюккера для кривых с простейшими особенностями.

  3. Описание линейной оболочки данного тензора. Квадратичные уравнения, задающие образ вложений Плюккера, Сегре и Веронезе.

  4. Пересечение клеток дополнительной размерности на грассманиане. Формулы Пьери.

  5. Свойства целых и нормальных расширений колец. Конечно порождённая алгебра над полем является полем только если она целая.

  6. Теоремы гильберта о базисе и о нулях полиномиального идеала. Конечно порождённая алгебра над полем нётерова.

  7. Антиэквивалентность категории аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем К и категории конечно порождённых приведённых К-алгебр. Прямое произведение мнообразий.

  8. Топология Зариского на спектре кольца. Разложение на неприводимые компоненты.

  9. Свойства конечных морфизмов: замкнутость, собственные замкнутые подмножества переходят в собственные, конечная сюрьекция на нормальное многообразие открыта.

  10. Собственность проективных многообразий. Существование конечной эпиморфной проекции проективного (соотв. аффинного) многообразия на проективное (соотв. аффинное) пространство.

  11. Теоремы о размерности пересечения и о размерностях слоёв морфизма. Неприводимость многообразия, расслоенного над неприводимым многообразием с неприводимыми равноразмерными слоями.

  12. Группы Пикара аффинного факториального многообразия и грассманиана.

  13. Тривиальность векторных расслоений над аффинной прямой. Теорема Биркгофа-Гротендика о ращепимости векторного расслоения на проективной прямой.

  14. Связь между дивизорами Вейля, дивизорами Картье и обратимыми пучками. Теорема о вырезании.

  15. Рациональное отображение в прективное пространство, задаваемое линейной системой дивизоров.

  16. Свойства гладких многообразий: локальная факториальность и Коэн-маколеевость, подмногообразие коразмерности m в гладком многообразии гладко тогда и только тогда, когда оно задаётся m уравнениями с линейно независимыми дифференциалами.

  17. Принцип постоянства: количество элементов в слоях этального морфизма постоянно; cтепень конечного доминантного морфизма многообразия X на нормальное многообразие Y не меньше числа прообразов произвольной точки; если Y гладкое, то морфизм локально свободен тогда и только тогда, когда X коэн-маколеево.

  18. Когомологии Чеха обратимых пучков на проективном пространстве.

  19. Двойстенность Серра и теорема Римана-Роха на гладкой кривой.

  20. Кривая рода g вкладывается в трёхмерное проективное пространство как кривая степени > g+2

  21. Формула Гурвица.

  22. Групповая структура на эллиптической кривой. Пространство модулей эллиптических кривых.

7.3Примеры заданий промежуточного контроля


Вариант контрольной работы:

  1. Существует ли комплексная 2х4-матрица 2х2-миноры которой (выписанные в случайном порядке) суть a) 2,3,4,5,6,7 б) 3,4,5,6,7,8 ? Если да, приведите пример такой матрицы, если нет, объясните почему.

  2. Покажите, что поле, аддитивная группа которого конечно-порождёна, конечно как множество.

  3. Покажите, что гладкая плоская квартика имеет 28 бикасательных или одну 4-кратную касательную.

  4. Покажите, что классы пропорциональных mxn-матриц ранга не больше k образуют неприводимое проективное многообразие и найдите его размерность.

  5. Обозначим через P проективное пространство плоских кубических кривых, проходящих через заданные 6 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, а все 6 не лежат на конике. Отображение f сопоставляет каждой точке плоскости, отличной от 6 данных, гиперплоскость в P, образованную всеми кубическими кривыми из P, проходящими через эту точку. Найдите dim P, покажите, что отображение f корректно определено и замыкание его образа (в проективном пространстве, двойственном к P) является гладкой кубической поверхностью, и явно опишите 27 пучков кубических кривых из P, которые переходят в 27 прямых на этой поверхности.

8Порядок формирования оценок по дисциплине


Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется

по 10-балльной системе.


Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Отекущий = n1* Ок/р + n2* Окол + n3* Осам. работа

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным (итоговым) контролем.

Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.

Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.


Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.

9Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

9.1Базовый учебник


отсутствует

9.2Основная литература


  1. Gorodentsev A.L. Algebraic Geometry: Start Up Course.–М.: МЦНМО, 2006. Отдельные главы книги доступны на http://wwwth.itep.ru/~gorod/ps/stud/projgeom/list.html

  2. Данилов В.И. Алгебраические многообразия и схемы. // «Алгебраическая геометрия – 1». Современные проблемы математики. Фундаментальные Направления. Т.23. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 172-303.

  3. Данилов В.И. Когомологии алгебраических многообразий. // «Алгебраическая геометрия – 2». Современные проблемы математики. Фундаментальные Направления. Т.35. М.: ВИНИТИ, 1989. С. 5-131.

  4. Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс.– М.: МЦНМО, 2006.

  5. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии.– М.: МЦНМО, 2007.

  6. Рид М. Алгебраическая геометрия для всех. М.: Мир, 1991

9.3Дополнительная литература


  1. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия.–Пер. с англ.–М.:Едиториал УРСС, 2000.

  2. Клеменс Д. Мозаика теории комплексных кривых.–M.:Мир, 1988

  3. Шокуров В.В. Римановы поверхности и алгебраические кривые.// «Алгебраическая геометрия – 1». Современные проблемы математики. Фундаментальные Направления. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 131-264.

  4. Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии. М.: МЦНМО, 2006.

  5. Фултон У. Теория Пересечений. М.: Мир, 1989

  6. :Ж.-П. Серр. Алгебраические группы и поля классов. М.: Мир, 1968



9.4Справочники, словари, энциклопедии


Не требуются

9.5Программные средства


Для проведения вычислительных экспериментов и выполнения громоздких вычислений из домашних заданий студенты используют пакеты математических программ Mathematica и Maple, установленные на компьютерах факультета математики.

9.6Дистанционная поддержка дисциплины


осуществляется официальным ( http://www.hse.ru/org/hse/269069/ ) и неофициальным (http://vyshka.math.ru/) сайтами факультета математики ГУ-ВШЭ в разделах методического сопровождения текущих учебных курсов, где размещаются все материалы домашних заданий, контрольных работ и коллоквиума, а также (по возможности и по мере готовности) - записки отдельных лекций.

10Материально-техническое обеспечение дисциплины


Компьютерный класс факультета математики с установленными на тамошних компьютерах пакетами математических программ Mathematika и Maple.



Смотрите также:
Программа дисциплины Алгебраическая геометрия для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра
202.46kb.
1 стр.
Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел 2» для направления 010100. 62 «Математика»
145.45kb.
1 стр.
Программа дисциплины Спецкурс «Избранные главы дискретной математики» для направления 010100. 62 «Математика»
77.22kb.
1 стр.
Программа дисциплины Спецкурс «Многообразия флагов» для направления 010100. 62 «Математика»
93.71kb.
1 стр.
Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра
194.94kb.
1 стр.
Программа дисциплины Квантовая механика для направления 010100. 62 "Математика" подготовки бакалавра
255.72kb.
1 стр.
Программа дисциплины «Выпуклые многогранники»
91.82kb.
1 стр.
Программа дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/ специальности [код направления подготовки и «Название направления подготовки»
281.54kb.
1 стр.
Программа дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/ специальности [код направления подготовки и «Название направления подготовки»
335.28kb.
1 стр.
Программа дисциплины «Разработка и технология производства рекламного продукта» для специальности 032401. 65 «Реклама» подготовки специалиста
303.12kb.
1 стр.
Программа дисциплины теория вероятностей, случайные процессы
45.36kb.
1 стр.
Программа дисциплины Информатика (автоматизация офисной деятельности) для направления 080500. 62 «Менеджмент» подготовки бакалавра
294.92kb.
1 стр.