Главная страница 1
Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл.
12.1. Первообразная функция.
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F(x) = f(x).


Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.



12.2. Неопределенный интеграл.
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства:
1.

2.

3.

4. где u, v, w – некоторые функции от х.






Пример:
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.
12.3. Таблица основных интегралов.
Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.


Интеграл

Значение

Интеграл

Значение

1



-lncosx+C

9



ex + C

2



lnsinx+ C

10



sinx + C

3





11



-cosx + C

4





12



tgx + C

5





13



-ctgx + C

6



ln

14



arcsin + C

7





15





8





16




12.4. Непосредственное интегрирование.


Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.



Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.


Смотрите также:
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией
41.06kb.
1 стр.
Неопределенный интеграл
106.73kb.
1 стр.
Язык процессного описания деятельности
240.13kb.
1 стр.
Анализ проф. Ю. Н. Тюрин 1/2 год
14.88kb.
1 стр.
Словарь а аналитическая функция (лат functio обязанность, назначение)
129.04kb.
1 стр.
Экзаменационные вопросы по курсу теория игр и исследование операций 9-й семестр, 5-й курс, 3-й поток
69.12kb.
1 стр.
Процедуры и функции
222.36kb.
1 стр.
Грабовой григорий Петрович «Учение о спасении и гармоничном развитии» «Метод управления состоянием Души»
471.76kb.
2 стр.
Классификация алгебраических выражений. Определение многочлена
201.14kb.
1 стр.
Основные свойства воздуха атмосфера земли
249.66kb.
1 стр.
Тема 1 экономика: ее главная функция и структура § потребности общества и экономика главная функция экономики Экономика
3406.83kb.
12 стр.
Лабораторная работа №1 Испытание портландцемента Определение тонкости помола
261.74kb.
1 стр.